Matemática discreta Ejemplos

$14000 = 600 (\frac{1 - {(1.015)}^{- n}}{0.015})$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $600 (\frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015}) = 14000$ .

$600 (\frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015}) = 14000$

Paso 2

Simplifica $600 (\frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015})$ .

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $0.015$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $0.015$ de $600$ .

$0.015 (40000) \frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015} = 14000$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común.

$0.015 \cdot 40000 \frac{1 - {1.015}^{- n}}{0.015} = 14000$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión.

$40000 (1 - {1.015}^{- n}) = 14000$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$40000 \cdot 1 + 40000 (- {1.015}^{- n}) = 14000$

Paso 2.3

Multiplica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $40000$ por $1$ .

$40000 + 40000 (- {1.015}^{- n}) = 14000$

Paso 2.3.2

Multiplica $- 1$ por $40000$ .

$40000 - 40000 \cdot {1.015}^{- n} = 14000$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $40000$ de ambos lados de la ecuación.

$- 40000 \cdot {1.015}^{- n} = 14000 - 40000$

Paso 3.2

Resta $40000$ de $14000$ .

$- 40000 \cdot {1.015}^{- n} = - 26000$

Paso 4

Divide cada término en $- 40000 \cdot {1.015}^{- n} = - 26000$ por $- 40000$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- 40000 \cdot {1.015}^{- n} = - 26000$ por $- 40000$ .

$\frac{- 40000 \cdot {1.015}^{- n}}{- 40000} = \frac{- 26000}{- 40000}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $- 40000$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 40000 \cdot {1.015}^{- n}}{- 40000} = \frac{- 26000}{- 40000}$

Paso 4.2.1.2

Divide ${1.015}^{- n}$ por $1$ .

${1.015}^{- n} = \frac{- 26000}{- 40000}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $- 26000$ y $- 40000$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $- 2000$ de $- 26000$ .

${1.015}^{- n} = \frac{- 2000 (13)}{- 40000}$

Paso 4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $- 2000$ de $- 40000$ .

${1.015}^{- n} = \frac{- 2000 \cdot 13}{- 2000 \cdot 20}$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

${1.015}^{- n} = \frac{- 2000 \cdot 13}{- 2000 \cdot 20}$

Paso 4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${1.015}^{- n} = \frac{13}{20}$

Paso 5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.015}^{- n}) = \ln (\frac{13}{20})$

Paso 6

Expande $\ln ({1.015}^{- n})$ ; para ello, mueve $- n$ fuera del logaritmo.

$- n \ln (1.015) = \ln (\frac{13}{20})$

Paso 7

Divide cada término en $- n \ln (1.015) = \ln (\frac{13}{20})$ por $- \ln (1.015)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $- n \ln (1.015) = \ln (\frac{13}{20})$ por $- \ln (1.015)$ .

$\frac{- n \ln (1.015)}{- \ln (1.015)} = \frac{\ln (\frac{13}{20})}{- \ln (1.015)}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{n \ln (1.015)}{\ln (1.015)} = \frac{\ln (\frac{13}{20})}{- \ln (1.015)}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $\ln (1.015)$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (1.015)}{\ln (1.015)} = \frac{\ln (\frac{13}{20})}{- \ln (1.015)}$

Paso 7.2.2.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{13}{20})}{- \ln (1.015)}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$n = - \frac{\ln (\frac{13}{20})}{\ln (1.015)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = - \frac{\ln (\frac{13}{20})}{\ln (1.015)}$

Forma decimal:

$n = 28.93371805 \dots$